Séries de Fourier: Définitions et Résultats

L'expression mathématique $\begin{displaymath}A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx)).\end{displaymath}$ s'appelle une série de Fourier .
On peut commençer par définir une expression semblable quand la somme est finie :
Définition. Un polynôme de Fourier (ou polynôme trigonométrique)est une expression de la forme $\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)\end{displaymath}$

qui peut s'écrire

$\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big).\end{displaymath}$

Les constantes a₀, a_i et b _i, $i=1,\cdots,n$ , s'appellent les coefficients de F _n(x).
Les polynômes de Fourier sont des fonctions $2\pi$ - périodiques.

On utilise les identités trigonométriques

$\begin{displaymath}\begin{array}{lcr}\sin(mx)\cos(nx) &=&\displaystyle \frac{1}......e \frac{1}{2}\Big[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x) \Big]\end{array}\end{displaymath}$

pour prouver les formules intégrales

(1): pour $n \geq 0$
(2): pour m et n
(3): pour $n \neq m$
(4): pour $n \geq 1$

En utilisant les formules ci-dessus, on peut en déduire le résultat suivant:

Théorème.

$\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big).\end{displaymath}$ On a $\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=&\displaystyle \frac{1}{2\pi......\pi} F_n(x) \sin(kx)dx,& 1 \leq k \leq n.\\\end{array}\right.\end{displaymath}$

Ce théorème permet d'associer une série de Fourier à une fonction $2\pi$ - périodique.

Définition. Soit f une fonction $2\pi$ - périodique intégrable sur $[-\pi, \pi]$ . On définit

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=& \displaystyle \frac{1}{2\p......_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)dx,& 1 \leq n.\\\end{array}\right.\end{displaymath}$ La série trigonométrique $\begin{displaymath}a_0 + \sum \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)\end{displaymath}$

s'appelle la série de Fourier associée à la fonction f . Nous utiliserons la notation

$\begin{displaymath}f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big).\end{displaymath}$

Exemple 1. Trouver la série de Fourier de la fonction

$\begin{displaymath}f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi.\end{displaymath}$

Réponse. Puisque f (x) est impair on a a_n= 0, pour $n \geq 0$ . On cherche les coefficients b _n. Pour $n \geq 1$ ,

$\begin{displaymath}b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1......\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}.\end{displaymath}$

On déduit

$\begin{displaymath}b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}.\end{displaymath}$

Par conséquent

$\begin{displaymath}f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right).\end{displaymath}$

Exemple 2. Trouver la série de Fourier de la fonction

$\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}0,& -\pi \leq x < 0\\\pi, & 0 \leq x \leq \pi\end{array} \right.\end{displaymath}$

Réponse. On a

$\begin{displaymath}a_0 = \frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} 0dx + \int_{0}^{\pi......\;\;\; a_n = \int_{0}^{\pi} \pi\cos(nx)dx = 0, \;\;\; n \geq 1,\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}b_n = \int_{0}^{\pi} \pi\sin(nx)dx = \frac{1}{n}(1-\cos(n\pi)) =\frac{1}{n}(1-(-1)^n).\end{displaymath}$

Nous obtenons b _2
n= 0 et

$\begin{displaymath}b_{2n+1} =\frac{2}{2n+1}.\end{displaymath}$

Par conséquent, la série de Fourier de f (x) est

$\begin{displaymath}f(x) \sim \frac{\pi}{2} + 2 \left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} +\frac{\sin(5x)}{5}+\ldots\right).\end{displaymath}$

Exemple 3. Trouver la série de Fourier de la fonction

$\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{\pi}......ystyle \frac{\pi}{2}}, & 0 \leq x \leq \pi\end{array} \right.\end{displaymath}$

Réponse. Cette fonction est celle de l'exemple ci-dessus moins la constante $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ . La série de Fourier de f (x) est

$\begin{displaymath}f(x) \sim 2 \left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5}+\ldots\right).\end{displaymath}$

Remarque. Nous avons défini la série de Fourier pour les fonctions qui sont $2\pi$ - périodiques, on peut définir une notion semblable pour les fonctions qui sont L - périodiques.

Supposez que f est définie et intégrable sur l'intervalle [ - L , L ]. Soit

$\begin{displaymath}F(x) = f\left(\frac{Lx}{\pi}\right).\end{displaymath}$

La fonction F (x) est définie et intégrable sur $[-\pi, \pi]$ . Soit la série de Fourier de F (x)

$\begin{displaymath}F(x) = f\left(\frac{Lx}{\pi}\right) \sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big).\end{displaymath}$

En utilisant la substitution $t =\displaystyle \frac{Lx}{\pi}$ , on a la définition suivante :
Définition. Soitf (x) une fonction définie et intégrable sur [ - L , L ]. La série de Fourier de f (x) est

$\begin{displaymath}f(t) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos\left(n\frac{\pi t}{L}\right) + b_n\sin\left(n\frac{\pi t}{L}\right)\right)\end{displaymath}$

avec pour $1\leq n$ .

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=& \displaystyle \displaystyl......f(x) \sin\left(n\frac{\pi x}{L}\right)dx,\\\end{array}\right.\end{displaymath}$

Exemple 4. Trouver la série de Fourier de

$\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}0,& -2 \leq x < 0\\x, & 0 \leq x \leq 2\end{array} \right.\end{displaymath}$

Réponse. On a L = 2, nous obtenons

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll}a_0 &=& \displaystyle \frac{1}{4} \int_{0......{n\pi} = \displaystyle \frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}\\\end{array}\end{displaymath}$

pour $n \geq 1$ . Par conséquent, nous avons

$\begin{displaymath}f(x) \sim \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{2}{n......rac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\left(n\frac{\pi x}{2}\right)\right].\end{displaymath}$

Thanks to M.a. Khamsi