Séries de Fourier: Définitions et Résultats


L'expression mathématique
\begin{displaymath}A_0 + \sum_{n = 1}^{\infty} (A_n\cos(nx) + B_n\sin(nx)).\end{displaymath}
s'appelle une série de Fourier .
On peut commençer par définir une expression semblable quand la somme est finie :
Définition. Un polynôme de Fourier (ou polynôme trigonométrique)est une expression de la forme
\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \Big(a_1\cos(x) +b_1\sin(x)\Big)+ \cdots + \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)\end{displaymath}

qui peut s'écrire

\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big).\end{displaymath}

Les constantes a0, ai et b i $i=1,\cdots,n$, s'appellent les coefficients de F n (x).
Les polynômes de Fourier sont des fonctions $2\pi$ - périodiques.

On utilise les identités trigonométriques

\begin{displaymath}\begin{array}{lcr}\sin(mx)\cos(nx) &=&\displaystyle \frac{1}......e \frac{1}{2}\Big[\cos((m-n)x) - \cos((m+n)x) \Big]\end{array}\end{displaymath}

pour prouver les formules intégrales

(1)
pour $n \geq 0$
\begin{displaymath}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)dx = 0,\;\;\;\mbox{and}\;\; \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)dx = 0,\end{displaymath}
(2)
pour m et n
\begin{displaymath}\int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \cos(nx)dx = 0,\end{displaymath}
(3)
pour $n \neq m$
\begin{displaymath}\int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx)\cos(nx)dx = 0,\;\;\mbox{and}\;\;\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx) \sin(nx)dx=0,\end{displaymath}
(4)
pour $ n \geq 1$
\begin{displaymath}\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(nx)dx = \pi,\;\;\mbox{and}\;\;\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(nx)dx = \pi.\end{displaymath}
En utilisant les formules ci-dessus, on peut en déduire le résultat suivant:

Théorème.

\begin{displaymath}F_n(x) = a_0 + \sum_{k= 1}^{k=n} \Big(a_k\cos(kx) + b_k\sin(kx)\Big).\end{displaymath}
On a
\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=&\displaystyle \frac{1}{2\pi......\pi} F_n(x) \sin(kx)dx,& 1 \leq k \leq n.\\\end{array}\right.\end{displaymath}

Ce théorème permet d'associer une série de Fourier à une fonction$2\pi$ - périodique.

Définition. Soit une fonction $2\pi$ - périodique intégrable sur$[-\pi, \pi]$. On définit

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=& \displaystyle \frac{1}{2\p......_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx)dx,& 1 \leq n.\\\end{array}\right.\end{displaymath}
La série trigonométrique
\begin{displaymath}a_0 + \sum \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big)\end{displaymath}

s'appelle la série de Fourier associée à  la fonction f . Nous utiliserons la notation

\begin{displaymath}f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big).\end{displaymath}

Exemple 1. Trouver la série de Fourier de la fonction

\begin{displaymath}f(x) = x, \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi.\end{displaymath}

Réponse. Puisque f (x) est impair on a an = 0, pour$n \geq 0$. On cherche les coefficients b n . Pour $ n \geq 1$,

\begin{displaymath}b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)dx =\frac{1......\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]^{\pi}_{-\pi}.\end{displaymath}

On déduit

\begin{displaymath}b_n = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) = \frac{2}{n}(-1)^{n+1}.\end{displaymath}

Par conséquent

\begin{displaymath}f(x) \sim 2\left(\sin(x) - \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(3x)}{3} ....\right).\end{displaymath}

Exemple 2. Trouver la série de Fourier de la fonction

\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}0,& -\pi \leq x < 0\\\pi, & 0 \leq x \leq \pi\end{array} \right.\end{displaymath}

Réponse. On a

\begin{displaymath}a_0 = \frac{1}{2\pi}\left(\int_{-\pi}^{0} 0dx + \int_{0}^{\pi......\;\;\; a_n = \int_{0}^{\pi} \pi\cos(nx)dx = 0, \;\;\; n \geq 1,\end{displaymath}

\begin{displaymath}b_n = \int_{0}^{\pi} \pi\sin(nx)dx = \frac{1}{n}(1-\cos(n\pi)) =\frac{1}{n}(1-(-1)^n).\end{displaymath}

Nous obtenons b 2 n = 0 et

\begin{displaymath}b_{2n+1} =\frac{2}{2n+1}.\end{displaymath}

Par conséquent, la série de Fourier de f (x) est

\begin{displaymath}f(x) \sim \frac{\pi}{2} + 2 \left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} +\frac{\sin(5x)}{5}+\ldots\right).\end{displaymath}

Exemple 3. Trouver la série de Fourier de la fonction

\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{rrr}-{\displaystyle \frac{\pi}......ystyle \frac{\pi}{2}}, & 0 \leq x \leq \pi\end{array} \right.\end{displaymath}

Réponse. Cette fonction est celle de l'exemple ci-dessus moins la constante $\displaystyle \frac{\pi}{2}$. La série de Fourier de f (x) est

\begin{displaymath}f(x) \sim 2 \left(\sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5}+\ldots\right).\end{displaymath}

Remarque. Nous avons défini la série de Fourier pour les fonctions qui sont $2\pi$ - périodiques, on peut définir une notion semblable pour les fonctions qui sont L - périodiques.

Supposez que est définie et intégrable sur l'intervalle [ - L , L ]. Soit

\begin{displaymath}F(x) = f\left(\frac{Lx}{\pi}\right).\end{displaymath}

La fonction F (x) est définie et intégrable sur $[-\pi, \pi]$. Soit la série de Fourier de F (x)

\begin{displaymath}F(x) = f\left(\frac{Lx}{\pi}\right) \sim \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\Big).\end{displaymath}



En utilisant la substitution $t =\displaystyle \frac{Lx}{\pi}$, on a la définition suivante :
Définition. Soitf (x)  une fonction définie et intégrable sur [ - L , L ]. La série de Fourier de f (x) est

\begin{displaymath}f(t) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos\left(n\frac{\pi t}{L}\right) + b_n\sin\left(n\frac{\pi t}{L}\right)\right)\end{displaymath}

avec pour $1\leq n$.

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lclr}a_0 &=& \displaystyle \displaystyl......f(x) \sin\left(n\frac{\pi x}{L}\right)dx,\\\end{array}\right.\end{displaymath}


Exemple 4. Trouver la série de Fourier de

\begin{displaymath}f(x) = \left\{ \begin{array}{lll}0,& -2 \leq x < 0\\x, & 0 \leq x \leq 2\end{array} \right.\end{displaymath}

Réponse. On a L = 2, nous obtenons

\begin{displaymath}\begin{array}{lll}a_0 &=& \displaystyle \frac{1}{4} \int_{0......{n\pi} = \displaystyle \frac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}\\\end{array}\end{displaymath}

pour $ n \geq 1$. Par conséquent, nous avons

\begin{displaymath}f(x) \sim \frac{1}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \left[\frac{2}{n......rac{2}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\left(n\frac{\pi x}{2}\right)\right].\end{displaymath}

Thanks to M.a. Khamsi