Dérivées partielles

Pour un couple (x,y)de réels on note $x\mapsto f(x,y)$, fonction de 2 variables à valeurs dans R.

En fixant l'une des 2 variables, si on peut dériver par rapport à l'autre variable on obtient alors une dérivée partielle.

On note

• ${\displaystyle{\partial f\over \partial x}}(x,y)$ la dérivée par rapport à x, y étant considéré constant
• ${\displaystyle{\partial f\over \partial y}}(x,y)$ la dérivée par rapport à y, x étant considéré constant.

Les propriétés des dérivées ordinaires sont conservées : dérivation d'une somme et d'un produit, produit par un scalaire, dérivation d'une fonction composée.

h(x,y)=g(f(x,y))

$${\displaystyle{\partial h\over \partial x}}(x,y)= {\displays... ...\displaystyle{\partial f\over \partial y}}(x,y)g^\prime(f(x,y))$$

La différentielle de f est par définition :

$$df={\displaystyle{\partial f\over \partial x}}dx+{\displaystyle{\partial f\over \partial y}}dy$$

Si on peut dériver de nouveau on obtient alors 4 dérivées possibles :

$${\displaystyle{\partial^2 f\over \partial x^2}} ={\displayst... ...playstyle{\partial f\over \partial y}}\right)\over \partial x}}$$

$${\displaystyle{\partial^2 f\over \partial y\partial x}} ={\d... ...playstyle{\partial f\over \partial y}}\right)\over \partial y}}$$

On admettra qu'en général :

$${\displaystyle{\partial^2 f\over \partial x\partial y}} ={\displaystyle{\partial^2 f\over \partial y\partial x}}$$