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Dérivées partielles

Pour un couple (x,y)de réels on note $x\mapsto f(x,y)$, fonction de 2 variables à valeurs dans R.

En fixant l'une des 2 variables, si on peut dériver par rapport à l'autre variable on obtient alors une dérivée partielle.

On note

Les propriétés des dérivées ordinaires sont conservées : dérivation d'une somme et d'un produit, produit par un scalaire, dérivation d'une fonction composée.

h(x,y)=g(f(x,y))

\begin{displaymath}
{\displaystyle{\partial h\over \partial x}}(x,y)=
{\displays...
 ...\displaystyle{\partial f\over \partial y}}(x,y)g^\prime(f(x,y))\end{displaymath}

La différentielle de f est par définition :

\begin{displaymath}
df={\displaystyle{\partial f\over \partial x}}dx+{\displaystyle{\partial f\over \partial y}}dy\end{displaymath}

Si on peut dériver de nouveau on obtient alors 4 dérivées possibles :

\begin{displaymath}
{\displaystyle{\partial^2 f\over \partial x^2}}
={\displayst...
 ...playstyle{\partial f\over \partial y}}\right)\over \partial x}}\end{displaymath}

\begin{displaymath}
{\displaystyle{\partial^2 f\over \partial y\partial x}}
={\d...
 ...playstyle{\partial f\over \partial y}}\right)\over \partial y}}\end{displaymath}

On admettra qu'en général :

\begin{displaymath}
{\displaystyle{\partial^2 f\over \partial x\partial y}}
={\displaystyle{\partial^2 f\over \partial y\partial x}}\end{displaymath}


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