next up previous
suivant: Cholesky monter: Méthodes directes précédent: Méthodes directes

Gauss

Soit une matrice $A$ de dimension $n\times n$, $x,b\in {\bf R}^n$

Soit $A^{(1)}=A$, on définit par récurrence $A^{(k+1)}$ à partir de $A^{(k)}$ en faisant des combinaisons de lignes :

\begin{displaymath}\ell_i\leftarrow \ell_i-\frac{a_{ik}^{(k)}}{a_{kk}^{(k)}}\ell_k\quad i>k\end{displaymath}

On obtient ainsi des 0 au-dessous de la diagonale dans la colonne k, à condition que $a_{kk}^{(k)}\ne 0$. A l'étape n on a un système triangulaire qu'on résoud par remontée :


\begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{lll}
x_n & = & \frac{1}{a_{nn}}b_n\\
&...
... \frac{1}{a_{11}}(-\sum_{j>1}a_{1j}x_j+b_1)
\end{array}\right.
\end{displaymath}

La méthode de Gauss équivaut à écrire la décomposition $A=LU$$L$ est triangulaire inférieure avec des coefficients diagonaux égaux à 1 et $U$ est triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux $\ne 0$ .

Stratégie de pivot : à chaque étape on effectue un échange de lignes pour avoir le coefficient diagonal le plus grand en module .