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Méthode du point fixe

On résoud $x=f(x)$ en définissant par récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$ . La suite est convergente si $f$ est contractante : $\vert f(x)-f(y)\vert\le k\vert x-y\vert$ avec $k<1$ ; cette condition est vérifiée si $\vert f^\prime\vert<1$ et en particulier si $\vert f^\prime(y)\vert<1$ pour la solution $y=f(y)$ .

Si $x_0$ est suffisamment proche de $y$ on a $\vert x_{n+1}-y\vert<k\vert x_n-y\vert$ ; la meilleure convergence est obtenue si $f^\prime(y)=0$ . On peut essayer de se ramener à ce cas par un procedé d'accélération de convergence : on remplace la résolution de $x=x+(f(x)-x)$ par celle de $x=\varphi(x)=x+\alpha(f(x)-x)$ et on choisit $\alpha$ pour que $\varphi^\prime(y)=0$, c'est-à-dire $\displaystyle \alpha=\frac{1}{1-f^\prime(y)}$.

En pratique on se contente d'une estimation de $f^\prime$ pour déterminer la valeur optimale de $\alpha$, par exemple $\displaystyle \frac{f(x_n)-x_n}{x_n-x_{n-1}}$ .