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Le département de Mathématiques
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Master 1ère année
MATHEMATIQUES et APPLICATIONS |
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ENSEIGNEMENT |
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Programme (les unités suivies de (*) ont lieu au CMI site de Château Gombert , les autres à la Faculté des Sciences De Luminy )
Le master Mathématiques et Applications de Marseille propose en deux ans une formation de haut niveau (bac+5) en mathématiques
L’obtention de la première année du master mathématiques et applications crédite 60 ects |
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SEMESTRE 1
UE Algèbre : 6 ects Objectifs :Approfondir les notions d'algèbre de la licence Contenu : Anneaux,a lgèbres, corps idéaux, modules. Algèbres de polynômes. Modules de types finis sur un anneau principal. UE Analyse fonctionnelle I : 6ects Objectifs :Acquérir les fondements de l'analyse fonctionnelle selon le programme de l'agrégation Contenus :Topologie et espaces métriques. Théorie de Baire et applications Espaces vectoriels normés.Espaces de Banach. Théoèmes de Stone-Weierstrass, Riesz, Ascoli. Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes; exemple. Applications linéaires continues entre espaces de Hilbert UE Analyse numérique : 6 ects Objectifs : Développer les méthodes de résolution numérique des EDP Contenus : Analyse numérique des EDP. Discrétisations par éléments finis, volumes finis. Résolution de problèmes non linéaires UE Analyse de Fourier : 6 ects Objectifs : Acquerir et illustrer les bases de l'analyse de Fourier Contenus : Séries de Fourier. Transformation de Fourier. Espaces de Sobolev. Application au traitement du signal. Algorithmes FFT UE Géométrie et analyse : 6 ects Objectifs : Acquérir les notions de base de la géométrie différentielle Contenus : Sous-variétés de R^n, variétés, fibrés tangent et cotangent, champs de vecteurs, intégration, calcul extérieur et formule de Stokes UE Probabilités : 6 ects Objectifs : Acquérir les notions de base de la théorie des probabilités Contenus : Espace de Probabilité, variables aléatoires, indépendance, convergence, loi des grands nombres, convergence en loi, TCL, éspérance conditionnelle, martingales. UE Topologie : 6 ects Objectifs : Acquérir les notions de base de la topologie Contenus :Topologie générale, compacité, connexité, produits, quotients, groupe fondamental, revêtements UE Algorithmique et programmation : 6 ects (*) Ojectifs : Introduire l’algorithmique avancée Les étudiants ayant pu choisir auparavant de nombreuses options dans la Licence d’Informatique, ou bien très peu de telles options, leurs connaissances de l’algorithmique pourront être très variables. Le contenu de l’unité devra s’adapter au niveau de la promotion. Contenus : Algorithmes fondamentaux sur les arbres et les graphes. Algorithmes gloutons. Programmation dynamique. Transformée de Fourier rapide. Introduction à l'analyse probabiliste d'algorithmes. Programmation en C. Le contenu sera adapté pour compléter les connaissances des étudiants en Algorithmique. UE Mécanique : 6 ects (non ouvert Luminy 2010/2011) Objectifs : Développer les méthodes mathématiques en mécanique. Contenus :Le principe de relativité et le groupe de Galilée, les équations de Lagrange, la mécanique céleste, le mouvement d’un solide, toupies, les variétés symplectiques, le formalisme canonique, les systèmes mécaniques à symétrie.
SEMESTRE 2 UE Algèbre II : 6 ects Objectifs : Approfondir les notions d’algèbre Contenus : Groupes, corps, extension de corps, théorie de Galois.ou Représentation des groupes finis. Algèbres de Lie et groupes classiques. Pré-requis: MathS1.1 Algèbre. UE Analyse complexe :6 ects (*) Objectifs : Renforcer l’acquisition des outils de l’analyse et présenter certaines de leurs applications à travers l’analyse complexe Contenus : Compléments sur les fonctions d'une variable complexe: équation $\bar \partial$, théorèmes de Riemann et de Picard, Weierstrass et Liouville, sphère de Riemann. Dynamique holomorphe. Introduction à la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes. UE Analyse fonctionnelle II : 6 ects (*) Objectifs : Approfondir les outils d’analyse fonctionnelle Contenus : Théorie des opérateurs. Théorie spectrale. Semi-groupes. Introduction aux distributions. Pré-requis: Analyse fonctionnelle I UE Calcul scientifique: 6 ects (*) Objectifs : Contenus :Résolution de problèmes après modélisation: utilisation de logiciels en calcul scientifique et statistique, type LAPACK, LINPACK, FREEFM. Pré-requis: analyse numérique élémentaire UE Complément de mathématiques pour les concours : 6 ects Objectifs : Maîtriser de l’expression écrite et orale en vue des concours Contenus : Chaque anné, il est choisi quelques points, peu ou pas abordés dans les années précédentes, et il est proposé des problèmes et des exposés autour de ces thèmes UE Cryptographie: 6 ects Objectifs : Introduire les méthodes de la crytographie Contenus : Complexité des opérations arithmétiques; corps finis; résolution des systèmes d'équations algébriques; suites binaires et algorithme de Massey-Berlekamp; géométrie des courbes sur les corps finis. UE Equations aux dérivées partielles : 6 ects (*) Objectifs : Introduire la théorie des équations aux dérivées partielles Contenus : Introduction des EDP, des représentations explicites à la théorie linéaire et non linéaire : équations de Laplace, de la chaleur, de transport, des ondes ; espaces de Sobolev formulations variationnelles UE Géométrie différentielle : 6 ects Objectifs : Illustrer des méthodes géométriques fondamental Contenus : Géométrie Riemannniene. Géométrie symplectique. Cohomologie de Rham. Pré-requis: MathS1.5 Géométrie et Analyse UE Logique : 6 ects Objectifs : Acquérir et maitriser les différences notions de calculabilité. Etude de la théorie de la démonstration Contenus : Calculabilité : fonctions récursives, automates, machines de Turing, lamda-calcul. Thèse de Church. Eléments de complexité. Preuves : Calcul des séquents, déduction naturelle UE Aspects mathématiques de la mécanique des fluides et des solides : 6ects (*) Objectifs : Mécanique des fluides et des solides Contenus : Description macroscopique d’un écoulement. Cinématique de l’écoulement. Théorème de Reynolds. Equations d’Euler, équations de Stokes, équations de Navier-Stokes. Conditions initiales, conditions aux limites. Ecoulement incompressible. Nombres adimensionnels. Théorèmes généraux pour les fluides parfiats : Bernoulli, Kelvin, Lagrange, Helmholtz, loi de Biot-Savart. Ecoulements potentiels : paradoxe de d’Alembert, écoulements bidimensionnels types (puits, source, tourbillon, doublet). Méthode de superposition. Formule de Blasius. Traînée et portance. Introduction à l’étude des écoulements turbulents. Matériaux standard généralisés. Lois de comportement non linéaires : hyperélasticité, élastoviscoplasticité, élastoplasticité. Outils mathématiques pour les méthodes variationnelles en mécanique. Equations et inéquations variationnelles; inégalités de Korn. Approche variationnelle de quelques problèmes quasi-statiques;élasticité et élastoviscoplasticité. Formulations classique et variationnelle, existence et unicité des solutions. Approximation par la méthode des éléments finis : formulations discrètes, résultats de convergence, estimations d’erreurs UE Méthodes informatiques et Langage C: 6 ects Objectifs : Parfaire l'apprentissage, surtout pratique, de la méthodologie et d'un langage de programmation Contenus : - Langage C. Les types primitifs, les expressions et les instructions du langage C ; types dérivés et structures de données. Tableaux, structures, listes, arbres. - Algorithmes fondamentaux. Méthodes de tri et d'accès rapide aux données. Méthodologie. Programmation structurée. Analyse descendante UE Processus stochastiques :6 ects (luminy et *) Objectifs : Introduire la théorie des processus stochastiques Contenus : Chaînes de Markov : irréductibilité, récurrence, transience, résolvante, noyau de Green, fonctions harmoniques et martingales. Convergence à l'équilibre, Monte Carlo par Chaînes de Markov Processus de Poisson Processus markoviens de sauts. Pré-requis: Probabilités. UE Recherche opérationnelle ou Optimisation : 6 ects (*) Objectifs : Introduire la recherche opérationnelle ou l’optimisation Contenus : Résultats d'existence et d'unicité des extrema, optimisation sans contraintes, algorithmes, optimisation sous contraintes, multiplicateurs de Lagrange, théorème de Kuhn Tucker. ou Programmation linéaire, simplexe UE Statistiques : 6 ects Objectifs : Introduire l’étude des statistiques Contenus : Théorie de l'estimation : estimateur UVMB, théorème de Rao-Blackwell, borne de Cramer-Rao, estimateur efficace, consistant, asymptotiquement normal. Théorie des tests d'hypothèses : théorème de Neyman-Pearson, Test UMP, Test de rapport de vraisemblance, Test de Khi-deux, tests de comparaison, tests de Kolmogorov-Smirnov. Pré-requis : probabilités UE Systèmes dynamiques : 6 ects Objectifs : Illustrer la théorie des systèmes dynamiques Contenus : Systèmes dynamiques : systèmes d'équations différentielles, dynamique discrète UE Théorie des nombres ou Mathématiques discrètes : 6 ects Objectifs : Etudier les structures discrètes ou introduire l’arithmétique Contenus : Théorie des nombres : études des systèmes de numération et des fractions continues. Etude des propriétés des nombres premiers et des fonctions arithmétiques.ou Mathématiques discrètes Etude des structures discrètes (ensembles finis, graphes, automates finis,...) et de leurs applications dans différents domaines des mathématiques (algèbre, combinatoire, géométrie, théorie des nombres, topologie,...) UE Théorie du potentiel : 6 ects (*) Objectifs : Renforcer l' acquisition des outils de l'analyse et présenter certaines de leurs applications à travers la théorie du potentiel Contenus : Fonctions harmoniques et sous-harmoniques, potentiels, problème de Dirichlet, fonctions de Green, noyau de Poisson, capacité, représentation probabiliste applications à l'approximation. Pré-requis: analyse fonctionnelle I. UE Topologie algébrique: 6 ects (*) Objectifs : Introduire les méthodes de la topologie algébrique Contenus : Complexes cellulaires, homologie simpliciale, classification des surfaces homologie et cohomologie, dualité de Poincaré. UE Traitement du signal : 6 ects (*) Objectifs : Introduire les méthodes mathématiques de la théorie du signal Contenus : Traitement des signaux déterministes: rappels d'analyse de Fourier, filtrage analogique et numérique des signaux, synthèse de filtres, transformation en z, échantillonnage, ondelettes; Traitement des signaux aléatoires: processus stationnaires, problèmes simples de détection.
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Responsables : Stéphane Ballet (U2) Olivier Gués (U3)
Secrétariat : sophie.realini[at]univmed.fr |
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